猫和基础物理学：迄今为止仍有许多精妙的科学(5)

想象一个头朝上站立的人，戴着一个有螺旋桨的帽子，当人自由落体时，帽上的螺旋桨开始旋转，由于角动量守恒，人必然会反向旋转。然而由于人比螺旋桨重得多，所以螺旋桨每转一圈，人的身体只会转动一点点。因此，当螺旋桨回到它的起始位置后，人与小帽的整个组合的朝向相对于起始位置会有小小的偏移。

最深入讨论落猫问题中的几何相位的是物理哲学家罗伯特· 巴特曼（ Robert Batterman） 2003年出版的专著。在书中，他把下落的猫、傅科摆、偏振光，甚至是平行停车都作为物理学中几何相位的例子放在了一起进行讨论。最后一个例子值得简单解释一下。在平行停车时，汽车通过前后移动和转弯有效地侧移，这里“相位”是汽车侧面的位置，即使在运动开始和结束时汽车的朝向是相同的，其位置也已经改变了。

几何相位的发现告诉人们，许多复杂的物理问题都有一个美丽的基本几何结构。以傅科摆为例，它的几何结构是真实的，因为地球是球形的。而在下落的猫、量子粒子和偏振光的例子中，类似的几何结构则隐藏在问题背后的数学结构里。一旦这个几何图形被揭示出来，问题就容易理解得多了，甚至不再算得上什么问题了。

对于傅科摆，想象我们建立一个半径为1的地球模型来估算摆的运动，在球面上画出钟摆的轨迹。我们可以用数学证明， 24小时过后，钟摆摆动方向转动的角度（单位是弧度，不是角度）等于在赤道和纬线之间的球面表面积（图4）。

图4：钟摆摆动方向在 24 小时内旋转的角度等于在赤道和钟摆所在纬线之间的球面表面积。来源：作者绘制。

对于潘查拉特南发现的几何相位，我们可以用庞加莱球来计算光波的滞后。可以证明，光偏振的每一种可能状态都可以映射到单位半径球上的一点。在庞加莱球上，北极点和南极点分别表示左旋（逆时针）和右旋（顺时针）圆偏振光，赤道上每一点都为线偏振光，北半球和南半球则分别代表左旋和右旋椭圆偏振光。偏振光状态的任何连续变化都可以被描绘成庞加莱球上的路径，就像汽车上的GPS（全球定位系统）标记的从起点到终点的路径一样。如果路径是闭合的，也就是说，如果偏振恢复到原来的状态，光变化积累的潘查拉特南几何相位等于路径在球面圈出的面积的一半（图5）。

图5：庞加莱球。光的每一种偏振状态都对应球上一个点，偏振状态经过改变回到原状态可用球上闭合路径标识。

落猫问题也可以同一个合适的几何形状的表面积联系起来。对于特定长度–周长比的猫，我们可以用一个球体来描述它的翻身（几何相位）。使用拉德马克和特尔布拉克的弯曲—扭转模型，如图6所示，那么球体上的纬度代表猫在腰部弯曲的量，经度代表猫在腰部扭转的量。因此，猫的任何弯曲和转动都可以被建模为球体上的路径，并且可以证明，猫在翻正过程中自身的整体旋转等于该路径在这个“猫球”上圈出的表面积。

图6 拉德马克和特尔布拉克的模型和能用来计算猫整体旋转的“猫球”。图片来源：作者绘制。

几何相位的真正美妙之处在于，它让我们得以使用非常简单的几何结构来解决非常复杂的问题。让我们再来看看20世纪60年代末凯恩和谢尔为NASA提出的复杂的猫翻身模型。早期拉德马克和特尔布拉克模型有一个很大的局限性在于，它假设猫在整个扭转过程中脊椎弯曲角度不变，但猫显然不能像向前弯曲那样向后弯曲。凯恩和谢尔的模型使猫在扭转时减少了向后的弯曲，并在扭转的过程中有效地从一侧弯曲到另一侧。

如果我们在“猫球”上比较这两种运动，就可以看到拉德马克和特尔布拉克模型的局限性，以及凯恩和谢尔模型的洞察力。如图7所示，在简单的拉德马克和特尔布拉克模型中，猫必须把腰向后弯曲到极限。相比之下，凯恩和谢尔模型则避免了这种极端的向后弯曲，猫只需要从向右弯曲转到向左弯曲便可实现翻转。

从图7的猫球中，我们很容易发现，凯恩和谢尔模型是最优选择：路径包围的表面积最大，猫的转动最大，也不需要猫实现不可能的弯曲。从演化角度看，猫必然在演化过程中学会利用了所有实际可行的弯曲和扭转。

具有讽刺意味的是，通过球面来描述猫翻身让我们回想起了300年前安东尼· 帕朗的著作。出于数学上的方便，帕朗将一只下落的猫建模为一个球体。现在，将猫翻身看作一个几何相位的情况下，我们可以看到，猫确实可以被建模成一个球体，尽管建模的方式与帕朗想象的完全不同。

文章来源：《中国医学物理学杂志》 网址: http://www.zgyxwlxzz.cn/zonghexinwen/2021/0715/605.html