猫和基础物理学：迄今为止仍有许多精妙的科学(3)

现在假设他走进一个层与层之间有螺旋坡道连接的多层停车场。如果这个人沿着向上的螺旋坡道走下去，他就会不断地往上走，走一圈之后刚好比他开始的地方高一层。这是非完整系统的又一个例子：尽管这个人在南–北–东–西坐标体系里走的是一圈封闭道路，但他最终到达了一个新的海拔高度。这与钟摆回到同一终止位置的摆动方向发生变化，以及猫落地时身体朝向发生变化是类似的。

傅科时代的研究者似乎对傅科摆的非完整性并不是特别感兴趣。毫无疑问，他们更惊叹于傅科摆对地球自转的形象演示，关心的是推导出描述其运动的精确数学方程。又过了一个多世纪，物理学中的非完整性才在另一个相距甚远的背景下得到了真正的认可和欣赏：量子物理学。

近一个世纪以来，物理学家们已经接受了这样一种观点，即所有存在的事物都具有波和粒子的双重性质，这种奇怪的存在状态被称为波粒二象性，我们将会看到，这导致了薛定谔的猫悖论的产生。当单个量子粒子（如电子）被限制在某个区域中时，其波的性质导致了某些稳定且相对简单的运动的存在。这些运动状态被矛盾地称为“定态”，每一个定态都有明确定义的离散能量。我们可以通过一个振动的弦来形象描述这种定态，它在数学上类似于一个被困在一维“盒子”里的量子粒子。尽管弦可以以任何频率（能量）振动，但在某些频率下弦的振动方式非常简单。这些是弦的定态。这些状态可以用一根粗绳来演示，比如跳绳或螺旋形的老式电话线。将绳的一端系在一个固体上，然后稍微拉紧，快速摇动它就可以创造出这种“自然的”模式，类似于图2所示。

图2?振动弦频率最低的几个定态。对于量子粒子而言，能量和频率成正比。图片来源：作者绘制。

量子粒子或振动波可以在形状稍微复杂一些的“盒子”里被激发。例如，波会在一个圆形的鼓面上振动，这类似于量子粒子被困在一个圆形盒子里，其定态和圆形面的边界条件有关。对于简单的形状，例如圆形盒子或长方形盒子，我们可以用数学方法求出定态的能量，这些基本的计算是大学本科物理课的内容。

然而，对于形状更复杂的势阱，我们通常无法直接计算，找到定态相当困难。20世纪70年代末，布里斯托尔大学的迈克尔· 贝里（ Michael Berry）想要研究这种情况下的定态。他特别关心的是找到两个或以上具有相同能量的定态系统，这种情况被称为简并。这样的简并态在贝里正在研究的问题中是非常罕见的，找到它们的唯一方法是同时从数学上研究一整类系统，并分离出存在简并的系统。这就像在三叶草草地里寻找四叶草一样，你必须仔细搜索整片草地才能在遍布的三叶草中找到四叶草。

贝里最终研究的问题是，一个量子粒子在一个三角形盒子里弹来弹去的情况，这类似于波在一个三角形鼓面上振动。通过研究所有可以想象到的三角形形状盒子里的定态，就有可能找到那些含有简并态的盒子。此处，这类情况下的简并态被命名为“空竹点”（ diabolical points， DP），因为它们与双锥结构有关，像空竹一样（而不是因为其中带有任何邪恶的东西 ）[1]。

三角形的形状可以用两个参数，也就是它的两个内角来描述，我们称之为X和Y。因为每个三角形的三个角加起来是180度，所以只要确定了两个角的大小，第三个角也确定了。因此，贝里和他的同事马克· 威尔金森（ Mark Wilkinson）发明了一种数学技巧，在盒子里寻找DP的每一个可能的X值和Y值。但是他们怎么知道什么时候发现了一个DP呢？在这里，他们发现了这个系统的一个奇怪特性。由于每个DP涉及一个三角形内能量相同的两个不同定态，贝里和威尔金森发现，如果将X和Y看作路径上的经度和纬度，在他们用数学“走遍”三角形集合的过程中，如果路径包含DP，走着走着波的两个定态就将翻转颠倒。

在这里，我们可以直接类比前面的多层停车场。就像如果极地探险者沿着车库的坡道向上走，就会在车库的另一层停下来一样，如果一个人绕着DP“走”，三角形的波就会翻转，每个波的“上”就会变成“下”，反之亦然。不过这两者有个关键的区别，在停车场的行走是在真实空间中的行走，而贝里和威尔金森的行走是在数学结构间的理论行走。利用这项技术，他们在他们的一系列三角形“盒子”中发现了许多DP。

在这种情况下，波的变化准确的名字应该是拓扑相。拓扑学是数学的一个分支，它通过物体各部分的连接方式来区分物体，比如一个球体和甜甜圈是不一样的，因为甜甜圈中间有个洞而球体中间没有。多层停车场与一组堆叠的平行平面是不同的，因为其层与层之间有坡道连接。在贝里和威尔金森的拓扑相中，他们期待的最大变化是当从一个“层”走到另一个“层”时，波所发生的上下翻转。

文章来源：《中国医学物理学杂志》 网址: http://www.zgyxwlxzz.cn/zonghexinwen/2021/0715/605.html