不定方程在跨学科教学中的应用(3)

2.3 不定方程在计算机教学中的应用

有些不定方程的整数解比较难计算,这时计算机就能体现出它的价值所在.在计算机教学中可以介绍不定方程的重要成果,让学生体验借助计算机编程解决不定方程,扩大学生的知识面.

例年,Ljunggren证明了不定方程x2－2y2＝－1有两组正整数解(x,y)＝(1,1),(239,13).Ljunggren的证明过程比较复杂,数学家们还要想找到一种简单或初等的方法证明,但始终还未找到.MATLAB软件程序在1min内计算出当y≤5000时,不 定 方 程x2－2y2＝－1有 两 组 正 整 数 解(x,y)＝(1,1),(239,13).具体的程序如图2所示.

图2

点评

遇到有关不定方程比较难的计算时,可以借助计算机编程求解部分解或全部解．学生不宜直接使用计算机解不定方程,最多将其作为验证用,以免妨碍对不定方程理论方法的学习．让学生体会计算机在不定方程的一些猜想方面的应用,感受利用计算机能解决一些在限制条件下的重要猜想,扩大学生的知识视野,提高学生研究问题的兴趣与积极性．

3 不定方程在实际生活中的应用

我国古代数学家对不定方程已有深入的研究,在民间流传的“百鸡问题”为中国古代数学成就之一,它在实际应用中具有独特的魅力.百鸡问题是一个比较开放性的问题,具有更大的研究可能性.百鸡问题最早出现在《张丘建算经》中.

例7今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只.问鸡翁、母、雏各几何?

解析

设公鸡、母鸡、小鸡的只数分别为x,y,z,由题意得

由②×3－①,得

式③的解有无数个.此题属于买鸡的实际应用问题,它的解为自然数,方程③的解就为有限个．x是4的倍数且x＜20,所以x只能取0,4,8,12,16.当x＝0时,y＝25,x＝75;当x＝4时,y＝18,z＝78;当x＝8时,y＝11,z＝81;当x＝12时,y＝4,z＝84.因此,这个问题有四组解.

点评

不定方程在人们的实际生活中有着现实意义和应用价值,把实际问题转化为数学问题,然后利用不定方程去解决这类实际问题．通过不定方程在实际中的应用,可以使学生感到数学的价值,激发学生学习数学的兴趣,感觉到数学内容在实际问题中的重要作用,培养学生的创新意识和实践能力,拓宽思维空间．

综上所述,不定方程不仅在数学中具有十分重要的地位,而且其理论和方法在计算机、信息、物理、化学、生物等众多学科中起着重要作用.不定方程的整数解问题在各高考中逐渐成为一个新的热点.不定方程在计算机教学中的应用,辅之以计算机作出完全或部分解.不定方程在培养学生数学思维能力,提高学生数学建模能力、数学逻辑思维能力、数学创新思维能力等方面也能起到很大的作用,能激发学生的学习兴趣,有助于学生深刻理解数学知识,各学科教学中应予以关注.

文章来源：《中国医学物理学杂志》 网址: http://www.zgyxwlxzz.cn/qikandaodu/2021/0629/604.html