不定方程在跨学科教学中的应用(2)

例3 求方程的所有正整数解(x,y,z)．

解析

不妨设所以

故1＜x≤3．

若x＝2,则,当y＝3时,z＝6;当y＝4时,z＝4;当y≥5时,与矛盾．

若x＝3,则由x≤y≤z,知

综上所述,x,y,z的所有正整数解为(2,3,6),(2,4,4),(3,3,3)．

点评

不等式估计是利用不等式工具确定不定方程中某元的范围,再利用整数性“夹逼”出该元的取值．在解答不定方程问题计算过程中用到不等式估计法的一些变形形式是代数变形常见的方法和技巧．如果能够恰当地利用字母的对称性,那么进行不等式估计时会简捷很多．学生要具备常见式子的变形转化能力,观察和探索不定方程的解．此题不等式估计的变形形式运算在以往各高校自主招生考试中屡见不鲜,文章试图对这类变形形式进行初步的探讨,以期给学生的学习带来帮助．

2 不定方程在跨学科教学中的应用

许多学生对各学科之间的联系和必要时的整合认识相对比较薄弱,这使学生的知识面相对单一,无法使用所学知识去解决跨学科问题,这不利于学生的多元智能发展.提倡教师在教学中将不同学科知识相互补充和相互渗透,整合学科知识.跨学科教学有利于开阔学生的视野,增进学生对知识的理解,提升学生的综合能力,同时有利于扩宽教师的知识面,促进教师专业发展.整合多学科知识,开发跨学科课程资源,有利于促进不同学科教师交流,建设跨学科教研活动.学生若能把知识串联起来,将这些知识形成一个整体的框架,学生的学习成绩会有所提升,教学质量也会随着有所提升.下面我就简单举例来说明不定方程在化学、物理、计算机这三科跨学科教学中的应用.

2.1 不定方程在化学教学中的应用

1979年高考化学有一道关联到不定方程的问题,从此之后各地的高考试题和模拟试题中也偶尔出现一些与不定方程相关的化学问题.2006年高考上海卷理综第30题第(1)问是一道化学题,若巧妙运用不定方程的计算方法会使得此问题的化学计算得到简化.

例4合成氨工业生产中所用的α-Fe催化剂的主要成分是FeO,Fe2O3．某FeO,Fe2O3混合物中,铁、氧的物质的量之比为4∶5,则Fe2＋,Fe3＋的物质的量之比为

解析

设混合物中FeO,Fe2O3的物质的量分别为x,y,由,化简得x＝2y,即,故

点评从此题中感受到在化学计算中灵活运用不定方程思想的独特魅力,以及各个学科知识交会互通的神奇之处．教学是充满思想的活动,让最基本的化学观念和解决相关问题的思想植根于学生心中,是中学化学教学的中心任务和永恒课题．让学生利用不定方程思想,解决具体的化学问题．

2.2 不定方程在物理教学中的应用

将不定方程引入物理教学应用中,能拓展学生的解题思路,考查学生应用不定方程知识解决物理教学问题的能力.解答基于物理意义下的不定方程问题,可以有效地考查考生思维的灵活性.

例5甲、乙两列简谐横波在同一介质中分别沿x轴正向和负向传播,波速均为v＝25cm·s－1.两列波在t＝0时的波形曲线如图1所示.

(1)当t＝0时,介质中偏离平衡位置位移为16 cm的所有质点的x坐标.

(2)从t＝0开始,介质中最早出现偏离平衡位置位移为－16cm的质点的时间.

图1

解析

(1)当t＝0时,在x＝50cm处两列波的波峰相遇,该处质点的波峰高度均为16cm,即质点偏离平衡位置的位移均为16cm.由图1可得,甲、乙两列波的波长分别为

甲、乙两列波的波峰的x坐标分别为

由题意可得x1＝x2,再由式①②③,得5k1＝6k2,此式为不定方程.

因此,k1＝6n,k2＝5n(n∈Z),介质中偏离平衡位置位移为16cm的所有质点的x坐标为

(2)只有两列波的波谷相遇处的质点的位移为－16cm.当t＝0时,两波波谷间的x坐标之差为

其中,m1和m2均为整数,将式①代入式⑤得

此式为不定方程.由于m1和m2均为整数,相向传播的波谷间的距离最小为Δx′0＝5cm.从t＝0开始,介质中最早出现偏离平衡位置位移为－16cm的质点的时间为,代入数值得t＝0.1s.

点评

本题考点为横波的图象、波长、频率和波速的关系．由于不定方程在中学物理问题中出现的较少,因此,在考查中多数考生表现出一定程度的不适应．这道高考题涉及不定方程的应用,解答过程中对不定方程计算能力要求较高,因而难度有些大,需要学生细心计算．

文章来源：《中国医学物理学杂志》 网址: http://www.zgyxwlxzz.cn/qikandaodu/2021/0629/604.html